The Riemann zeta function or the umbilicus of mathematics (II): about the foundations

Whereas the part 1 sentence attributed to Heraclitus « εν και παν » is a whole merit of being revisited. The significance of the Riemann zeta function ζ emerges using an ordinal reading of this function. In this context, it is important to complete the basic axioms attached to ZFC set theory (Zermelo-Fraenckel with axiom of choice) in order to precisely characterize the cardinality of the continuum. The very definition of the function justifies retaining Martin’s axiom (allowing the rules of infinite combinatorics to be extended beyond the threshold of the smallest uncountable ordinal), the simplest forcing axiom which avoids any argument from metamathematical nature. It then turns out that this is reformulated in an equivalent way like Riemann’s statement on the distribution of its non-trivial zeros.

Attendu le développement de la première partie 1 la sentence attribuée à Héraclite « εν και παν » soit « l’un est tout » mérite que l’on s’y arrête. La signification fonction zêta de Riemann ζ émerge en recourant à une lecture ordinale de cette fonction. Cette lecture est fondée sur une approche catégorique. Dans ce cadre, il s’avère important de compléter les axiomes de base attachés à la théorie des ensembles sous contraintes ZFC (Zermelo-Fraenckel avec l’axiome du Choix) afin de préciser et de caractériser le rôle du cardinal du continu. La définition même de la fonction ζ justifie que l’on retienne pour ce faire, l’axiome de Martin. Il permet de prolonger les règles de la combinatoire infinie nécessaire à la définition du statut de la fonction zêta au-delà du seuil du plus petit ordinal indénombrable. Il s’agit de axiome de forcing le plus simple évitant tout argument de nature métamathématique. Il s’avère alors que celui-ci se reformule de manière équivalente comme l’énoncé de Riemann sur la distribution de ses zéros non triviaux.

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